Řešení kvadratických rovnic v oboru reálných čísel

Kvadratické rovnice je taková rovnice, která má jednu neznámou ve druhé mocnině a další členy mohou být pouze lineární nebo absolutní.

Základní vzorce pro řešení kvadratických rovnic

$ax^2 + by + c = 0$

$D = b^2 - 4·a·c$

$x_1_2 = \frac{-b \pm\sqrt{D}}{2·a}$

ax² – kvadratický člen

bx – lineární člen

c – absolutní člen

Řešení kvadratické rovnice krok za krokem

$2x^2 +8x - 192 = 0 \hspace{1cm} /:2$

Pokud je u kvadratické rovnice a jiné než 1 a můžeme rovnici vynásobit nebo vydělit tak, aby ostatní čísla zůstala celá, tak tuto operaci provedeme, protože se nám pak bude snáze pracovat s příkladem. Po vydělení dostaneme rovnici:

$x^2 +4x - 96 = 0$

Nyní vypočítáme diskriminant podle vzorce:

$D = b^2 - 4·a·c$

$D = 4^2 - 4·1·(-96)$

$D = 400$

Diskriminant vyšel kladný, to znamená, že rovnice má dva kořeny. Pokud by byl diskriminant roven nule, tak by rovnice měla pouze jeden reálný kořen a pokud by vyšel záporný, tak by neexistoval ani jeden reálný kořen. Nyní už zbývá pouze dopočítat kořeny:

$x_1_2 = \frac{-b \pm\sqrt{D}}{2·a}$

$x_1_2 = \frac{-4 \pm\sqrt{400}}{2}$

$x_1 = -12 \hspace{1cm} x_2 = 8$

$K = \{ -12;8\}$

Viètovy vzorce

Viètovy vzorce slouží k urychlenému nalezení kořenů rovnic s malými členy kvůli jednoduchosti a rychlosti výpočtu. Pro kvadratické rovnice platí:

$ax^2 + by + c = 0$

$x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} \hspace{1cm} x_1·x_2 = \frac{c}{a}$

Pro praktické využití používáme nejčastěji Viètovy vzorce, když člen a = 1, pak vzorec je zjednodušený ve tvaru:

$x_1 + x_2 = -b \hspace{1cm} x_1·x_2 = c$

Odvození Viètových vzorců

Viètovy vzorce popisují vztahy pro součty a součiny kořenů kvadratické rovnice, proto pokud si nepamatujeme vzorečky, tak je můžeme i odvodit:

$x_1 + x_2 = \frac{-b \pm\sqrt{D}}{2·a} + \frac{-b \pm\sqrt{D}}{2·a}$

$= \frac{-b +\sqrt{D}-b -\sqrt{D}}{2·a} = \frac{-2b}{2·a} = \frac{-b}{a}$

$x_1 · x_2 = \frac{-b \pm\sqrt{D}}{2·a} \cdot \frac{-b \pm\sqrt{D}}{2·a}$

$= \frac{-b +\sqrt{D}-b -\sqrt{D}}{2·a} = \frac{-2b}{2·a} = \frac{-b}{a}$

Kvadratické rovnice bez absolutního členu

Pokud v kvadratické rovnici ax² + bx + c = 0 platí c = 0, pak její předpis je ax² + bx = 0, z kterého můžeme vytknout x:

x(ax + b) = 0 a poté nalezneme nulové body. jeden kvadratický kořen bude vždy roven nule.

$2x^2+8x = 0 \rightarrow 2x(x + 4) = 0$

$x_1 = 0 \hspace{1cm} x_2 = -4$

$K = \{ -4;0\}$

Kvadratické rovnice bez lineárního členu

Jestli lineární člen je roven nule (b = 0), pak platí: ax² + c = 0

$x^2 - 9 = 0 \rightarrow x^2 = 9 \rightarrow x = \pm\sqrt{9}$

$x_1 = -3 \hspace{1cm} x_2 = 3$

$K = \{ -3;3\}$

Řešené příklady s popisem a postupem řešení

V následující sekci si ukážeme tři kvadratické rovnice a jejich nejefektivnější řešení.

1. Řešený příklad

$x^2 + \frac{{5}}{6}x = 0$

vytkneme x

$x(x-\frac{{5}}{6}) = 0$

najdeme nulové body, jeden kořen bude v tomto případě vždy nula

$x(x-\frac{{5}}{6}) = 0 \rightarrow x_1 = 0 \hspace{1cm} x_2 = \frac{{6}}{5}$

Řešením je

$K = \{ 0;\frac{{6}}{5}\}$

2. Řešený příklad

$x^4 + x^2 - 2 = 0$

Transformujeme bikvadratickou rovnici na kvadratickou pomocí substituce, tedy náhrady x na druhou za t.

$x^2 = t$

z toho:

$t^2 + t - 2 = 0$

vypočítáme diskriminant

$D = b^2 - 4·a·c$

$D = 1^2 - 4\cdot1\cdot(-2)$

$D = 9$

vypočítáme kořeny kvadratických rovnic

$t_1_2 = \frac{-b \pm\sqrt{D}}{2·a}$

$t_1_2 = \frac{-1 \pm\sqrt{9}}{2\cdot1}$

$t_1_2 = \frac{-1 \pm 3}{2\cdot1}$

$t_1 = -2 \hspace{1cm} t_2 = 1$

vložíme zpětnou substituci

pro první kořen:

$t_1 = -2 \rightarrow x^2 = t \rightarrow x^2 \neq -2$

Jelikož druhá odmocnina nemůže vyjít záporné číslo, tak pro první zasubstitovaný kořen nemáme žádné řešení.

pro druhý kořen:

$t_2 = 1 \rightarrow x^2 = t$

$x^2 = 1$

$x = \pm\sqrt{1}$

$x = \pm{1}$

$K = \{ -1;1\}$

3. Řešený příklad

$\frac{x+3}{x} = \frac{-2}{x^2}$

Vynásobíme obě strany rovnice x na druhou.

$x(x+3) = -2$

Roznásobíme závorku.

$x^2+3x = -2$

Převedeme -2 na druhou stranu.

$x^2+3x+2 = 0$

Vypočíme diskriminant.

$D = b^2 - 4·a·c$

$D = 3^2 - 4\cdot1\cdot2$

$D = 1$

Nyní už zbývá už jen dopočítávat kořeny.

$x_1_2 = \frac{-b \pm\sqrt{D}}{2·a}$

$x_1_2 = \frac{-3 \pm\sqrt{1}}{2\cdot1}$

$x_1_2 = \frac{-3 \pm{1}}{2\cdot1}$

$x_1 = -2 \hspace{1cm} x_2 = -1$

$K = \{ -2;-1\}$

Řešení kvadratické rovnice krok za krokem

Viètovy vzorce

Odvození Viètových vzorců

Kvadratické rovnice bez absolutního členu

Kvadratické rovnice bez lineárního členu

Řešené příklady s popisem a postupem řešení

1. Řešený příklad

2. Řešený příklad

3. Řešený příklad

Mohlo by se Vám také líbit

Je nula liché, nebo sudé číslo, nebo ani jedno?

Definiční obor